Seminar Maximale Regularität/Maximal Regularity WS 2021

Überblick

Maximale Regularität ist ein modernes Werkzeug aus der Theorie der Evolutionsgleichungen und wird oft zum Nachweis der Existenz von Lösungen zu quasilinear-parabolischen Gleichungen benutzt werden. Maximale Regularität folgt i.wstl. aus R-Beschränktheit oder der (noch stärkeren) Existenz beschränkter imaginärer Potenzen oder eines beschränkten H_∞-Kalküls. Was diese Begriffe im Einzelnen bedeuten, wie sie zusammenhängen, wie man die einzelnen Eigenschaften nachweisen und damit die Existenz von Lösungen zeigen kann, damit wollen wir uns in diesem Seminar auseinandersetzen.

Information und Anmeldung

Bei Fragen stehe ich Ihnen gern zur Verfügung. Anmeldung am besten bis Sonntag, den 10.10.2021, an: schrohe@math.uni-hannover.de.

Kann zu Bachelor-/Masterarbeiten hinführen.

Overview

Maximal Regularity is a modern tool in the theory of evolution equations. It is often used to establish the existence of solutions to quasilinear parabolic equations. Maximal regularity is (essentially) implied by R-boundedness or the (even stronger) existence of bounded imaginary powers or a bounded H_∞-calculus. In this seminar we will get to know these notions, explore their interdependence and see how they can be applied to show the existence fo solutions.

May lead to Bachelor or Master Theses

Information and Registration

For questions or registration (preferably before 10/10/21) email me at schrohe@math.uni-hannover.de.

Vortragsthemen/Talks

1. Analytische Halbgruppen/Analytic Semigroups [Amann, §I.1.1-I.1.3]
2. Sobolevräume, Hölder-Zygmundräume und Interpolation/Sobolev Spaces, Hölder-Zygmund Spaces and Interpolation [Amann I.2.1-I.2.8], [Lunardi Examples]
3. Maximale Regulrität/Maximal Regularity [Amann, III.1]
4. Maximale Sobolev-Regularity/Maximal Sobolev Regularity [Amann, III.4.3-III.4.5]
5. Der Satz von Clément und Li/The Clément-Li Theorem [Clément-Li]
6. Beschränkte imaginäre Potenzen/Bounded Imaginary Powers (BIP) [Amann III.4.7-III.4.8]
7. R-Beschränktheit/R-boundedness [DenkHieberPrüss, Sect 3]
8. BIP ⇒R-boundedness ⇒ MaxReg [DenkHieberPrüss, 4.1-4.3] [Amann II.4.10]
9. H_∞ -Kalkül/H_∞ -calculus [DenkHieberPrüss, Sect 2.4], [KunstmannWeis, Theorem 13.1], [DDHPV, Theorem 3.2]
10. Maximale stetige Regularität I/Maximal Continuous Regularity I [Amann III.3.3], [ClémentSimonett]
11. Maximale stetige Regularität II/Maximal Continuous Regularity II [ClémentSimonett] [Simonett, Theorem 3.1]

Literatur/References

1. H. Amann. Linear and Quasilinear Parabolic Problems. Birkhäuser Verlag, Basel, 1995.
2. P. Clément and S. Li. Abstract parabolic quasilinear equations and application to a groundwater flow problem. Adv. Math. Sci. Appl. 3, Special Issue, 17-32 (1993/94).
3. P. Clément and G. Simonett. Maximal regularity in continuous interpolation spaces and quasilinear parabolic equations. J. Evol. Equations 1:39-67, 2001
4. R. Denk, G. Dore, M. Hieber, J. Prüss. New thoughts on old results of R. T. Seeley. Math. Ann. 328(4):545-583, 2004.
5. R. Denk, M. Hieber and J. Prüss. R-boundedness, Fourier multipliers and problems of elliptic and parabolic type. Mem. Amer. Math. Soc. 166, 2003.
6. R. Denk. An introduction to maximal regularity for parabolic evolution equations. arXiv:2003.04554
7. G. Dore and A. Venni. On the closedness of the sum of two closed operators. Math. Z. 196, 189--201 (1987)
8. P. C. Kunstmann and L. Weis. Maximal L_p-regularity for parabolic equations, Fourier multiplier theorems and H^∞-functional calculus. Functional Analytic Methods for Evolution Equations, Lecture Notes in Mathematics vol. 1855, Springer Berlin Heidelberg, 65-311 (2004).
9. A. Lunardi. Interpolation theory. Third edition. Edizioni della Normale, Pisa, 2018
10. A. McIntosh. Operators which have an H_∞-functional calculus, Miniconference on operator theory and partial differential equations, North Ryde, 1986, Proc. Centre Math. Anal. Austral. Nat. Univ., 14, Austral. Nat. Univ., Canberra, 1986.
11. G. Simonett. Center manifolds for quasilinear reaction-diffusion systems, Differential Integral Equations 8 (1995), 753–796.